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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
g) ∑n=1∞1nn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}}

Respuesta

Para decidir si la serie 

∑n=1∞1nn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} 

converge o diverge, observamos la expresión de nuestra serie y sospechamos que, cuando nn sea muy grande, se va a comportar de manera similar a 

∑n=1∞1n3/2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}

que es una serie pp con p=32>1p = \frac{3}{2} > 1, y sabemos que converge.

La parte que vos no escribis en el parcial pero yo te la pongo acá para que lo veas más claramente es esta:

∑n=1∞1nn+1≈ ∑n=1∞1nn= ∑n=1∞1n3/2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} 

(Se suman los exponentes por regla de potencias!)

Vamos a confirmar esta sospecha usando el criterio de comparación vía límite: lim⁡n→∞1nn+11n3/2=lim⁡n→∞n3/2nn+1=lim⁡n→∞n3/2nn1+1n=lim⁡n→∞n3/2n3/21+1n=lim⁡n→∞11+1n=1 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n+1}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n^{3/2} \sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1 Como el resultado del límite nos dio un valor finito mayor que 0, el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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ExaComunidad
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Juan
3 de julio 18:54
Hola flor cómo estás? No termino de entender cual fue el factor común que sacaste al final de todo en el denominador para que quede n raíz de n raíz de 1+1/n. Muchas gracias! 
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Juan
3 de julio 18:56
Sería acá 2024-07-03%2018:56:10_9767100.png
0 Responder
Flor
PROFE
4 de julio 12:16
@Juan Hola Juan! Cuando estás acá:

lim⁡n→∞n3/2nn+1\lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n+1}}

sacás factor común nn adentro de la raíz, distribuis la raiz y por eso te queda:

lim⁡n→∞n3/2nn1+1n\lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n}}}

y después escribis nnn \sqrt{n} como n3/2n^{3/2} usando propiedades de potencias, por eso se te simplifican 
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